2.52* б) Решите уравнение \(\frac{x}{a}+\frac{1}{ax-bx}+\frac{b}{a^2x-abx}=\frac{2}{a-b}\), где \(a\) и \(b\) — данные числа.

ОДЗ: \(a\ne0\), \(a\ne b\), \(x\ne0\). Поскольку \(ax-bx=x(a-b)\), а \(a^2x-abx=ax(a-b)\), уравнение после умножения на \(a(a-b)x\) принимает вид \((a-b)x^2-2ax+(a+b)=0\).

При допустимых параметрах квадратный трёхчлен раскладывается: \((x-1)((a-b)x-(a+b))=0\). Поэтому возможны \(x=1\) и \(x=\frac{a+b}{a-b}\).

Оба значения учитывают ОДЗ, кроме случая \(b=-a\): тогда второе значение равно нулю и недопустимо. При этом \(x=1\) остаётся решением.

Ответ: при \(a\ne0\) и \(a\ne b\): \(x=1\) и \(x=\frac{a+b}{a-b}\), если \(b\ne-a\); при \(b=-a\) только \(x=1\).