2. Докажите признак равенства треугольников по трем сторонам (любой частный случай).

Доказательство (По трем сторонам):

Теорема: По трем сторонам (первый признак равенства треугольников): Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано:

Треугольник ABC и треугольник A₁B₁C₁.

AB = A₁B₁

BC = B₁C₁

AC = A₁C₁

Доказать: ΔABC = ΔA₁B₁C₁

Доказательство (методом наложения):

Наложим треугольник ABC на треугольник A₁B₁C₁ так, чтобы сторона AB совпала со стороной A₁B₁.

Так как AB = A₁B₁, то точка A совпадет с A₁, а точка B совпадет с B₁.

Так как AC = A₁C₁, то точка C будет лежать на окружности с центром в A₁ и радиусом AC.

Так как BC = B₁C₁, то точка C будет лежать на окружности с центром в B₁ и радиусом BC.

Эти две окружности могут пересекаться в двух точках. Одна из этих точек совпадет с C₁ (так как AC = A₁C₁ и BC = B₁C₁).

Пусть точка C совпадет с C₁.

Тогда все вершины треугольника ABC совпадут с вершинами треугольника A₁B₁C₁.

Следовательно, треугольник ABC равен треугольнику A₁B₁C₁.

Что и требовалось доказать.