2. На стороне BC ромба ABCD лежит точка K так, что BK=KC, O - точка пересечения диагоналей. Выразите векторы \(\vec{AO}\), \(\vec{AK}\), \(\vec{KD}\) через векторы \(\vec{a} = \vec{AB}\) и \(\vec{b} = \vec{AD}\).

Дано: Ромб ABCD, точка K - середина BC, O - точка пересечения диагоналей. Используем свойства ромба: Диагонали ромба пересекаются в середине и перпендикулярны друг другу. 1. \(\vec{AO}\) = \(\frac{1}{2}\vec{AC}\). Так как \(\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}\), то \(\vec{AO} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})\). 2. \(\vec{AK}\). Поскольку K - середина BC, то \(\vec{BK} = \frac{1}{2}\vec{BC} = \frac{1}{2}\vec{AD} = \frac{1}{2}\vec{b}\). Тогда \(\vec{AK} = \vec{AB} + \vec{BK} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}\). 3. \(\vec{KD}\). \(\vec{KD} = \vec{KC} + \vec{CD}\). Так как \(\vec{KC} = \frac{1}{2}\vec{BC} = \frac{1}{2}\vec{AD} = \frac{1}{2}\vec{b}\) и \(\vec{CD} = -\vec{AB} = -\vec{a}\). Тогда \(\vec{KD} = \frac{1}{2}\vec{b} - \vec{a}\) или \(\vec{KD} = -\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}\).