4*. В треугольнике ABC O – точка пересечения медиан. Выразите вектор \(\vec{AO}\) через векторы \(\vec{a} = \vec{AB}\) и \(\vec{b} = \vec{AC}\).

В треугольнике ABC точка O - точка пересечения медиан. 1. Медиана делит сторону пополам, а точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. 2. Пусть M - середина BC. Тогда \(\vec{AM}\) - медиана, и \(\vec{AO} = \frac{2}{3}\vec{AM}\). 3. \(\vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC}) = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})\). (Правило сложения векторов в треугольнике, где M - середина BC). 4. Следовательно, \(\vec{AO} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b}) = \frac{1}{3}(\vec{a} + \vec{b})\). Ответ: \(\vec{AO} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}\).