2. Определите скорость движения спутника вокруг Земли по круговой орбите на высоте, равной радиусу Земли, если первая космическая скорость у поверхности Земли равна 8 км/с.

Решение:

Первая космическая скорость (\[ v_1 \]) — это скорость, необходимая для вывода объекта на низкую околоземную орбиту. Она рассчитывается по формуле:

\[ v_1 = \sqrt{\frac{GM}{R}} \]

где:

• \[ G \] — гравитационная постоянная
• \[ M \] — масса Земли
• \[ R \] — радиус Земли

В условии сказано, что первая космическая скорость у поверхности Земли равна 8 км/с. Это означает, что:

\[ v_1 = 8 \text{ км/с} = 8000 \text{ м/с} \]

Теперь рассмотрим движение спутника на высоте, равной радиусу Земли. Это значит, что радиус орбиты спутника будет:

\[ r_{орбиты} = R_{Земли} + h = R_{Земли} + R_{Земли} = 2R_{Земли} \]

Скорость спутника на такой орбите (\[ v \]) рассчитывается по формуле:

\[ v = \sqrt{\frac{GM}{r_{орбиты}}} = \sqrt{\frac{GM}{2R_{Земли}}} \]

Мы можем выразить \[ GM \] из формулы первой космической скорости:

\[ v_1^2 = \frac{GM}{R_{Земли}} \implies GM = v_1^2 R_{Земли} \]

Теперь подставим это выражение в формулу для скорости спутника на новой орбите:

\[ v = \sqrt{\frac{v_1^2 R_{Земли}}{2R_{Земли}}} = \sqrt{\frac{v_1^2}{2}} = \frac{v_1}{\sqrt{2}} \]

Теперь подставим известное значение первой космической скорости:

\[ v = \frac{8 \text{ км/с}}{\sqrt{2}} \]

\[ v \approx \frac{8}{1.414} \text{ км/с} \]

\[ v \approx 5.66 \text{ км/с} \]

Ответ: Скорость движения спутника будет примерно 5.66 км/с.