2. Расстояние от точки М до всех вершин квадрата равно 5 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости квадрата, если диагональ квадрата равна 6 см.

Решение:

Точка М равноудалена от всех вершин квадрата, значит, она проецируется в центр квадрата (точка О). Расстояние от М до плоскости квадрата — это длина отрезка МО.

1. Найдём расстояние от центра квадрата до его вершины (R):
   Диагональ квадрата \( d = 6 \) см.
   Радиус описанной окружности (расстояние от центра до вершины) равен половине диагонали:
   \[ R = \frac{d}{2} = \frac{6 \text{ см}}{2} = 3 \text{ см} \]
2. Найдём расстояние от точки М до плоскости квадрата (МО):
   Рассмотрим прямоугольный треугольник МОА (где А — одна из вершин квадрата). По теореме Пифагора:
   \[ MO^2 + OA^2 = MA^2 \)
   \[ MO^2 + R^2 = MA^2 \)
   Подставим известные значения: \( MA = 5 \) см, \( R = 3 \) см.
   \[ MO^2 + (3 \text{ см})^2 = (5 \text{ см})^2 \)
   \[ MO^2 + 9 \text{ см}^2 = 25 \text{ см}^2 \)
   \[ MO^2 = 25 \text{ см}^2 - 9 \text{ см}^2 = 16 \text{ см}^2 \)
   \[ MO = \sqrt{16 \text{ см}^2} = 4 \text{ см} \]

Ответ: Расстояние от точки М до плоскости квадрата равно 4 см.