7. Высота конуса равна 8 см, диаметр основания 12 см. Найдите объём и площадь боковой поверхности конуса.

Решение:

1. Найдем радиус основания (r):
   Диаметр основания \( d = 12 \) см.
   \[ r = \frac{d}{2} = \frac{12 \text{ см}}{2} = 6 \text{ см} \]
2. Найдем образующую конуса (l):
   Образующая \( l \), высота \( h \) и радиус основания \( r \) связаны теоремой Пифагора: \( l^2 = r^2 + h^2 \).
   Высота \( h = 8 \) см.
   \[ l^2 = (6 \text{ см})^2 + (8 \text{ см})^2 = 36 \text{ см}^2 + 64 \text{ см}^2 = 100 \text{ см}^2 \)
   \[ l = \sqrt{100 \text{ см}^2} = 10 \text{ см} \]
3. Найдем объём конуса (V):
   \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \)
   \[ V = \frac{1}{3} \pi \cdot (6 \text{ см})^2 \cdot 8 \text{ см} = \frac{1}{3} \pi \cdot 36 \text{ см}^2 \cdot 8 \text{ см} = 12\pi \cdot 8 \text{ см}^3 = 96\pi \text{ см}^3 \]
4. Найдем площадь боковой поверхности конуса (S_бок):
   \[ S_{бок} = \pi r l \)
   \[ S_{бок} = \pi \cdot 6 \text{ см} \cdot 10 \text{ см} = 60\pi \text{ см}^2 \]

Ответ: Объём конуса 96\(\pi\) см³, площадь боковой поверхности конуса 60\(\pi\) см².