3. Плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды равен 60°, а боковое ребро 6 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Решение:

Правильная треугольная пирамида имеет равносторонний треугольник в основании и боковые грани — равные равнобедренные треугольники. Плоский угол при вершине — это угол между двумя боковыми рёбрами, выходящими из вершины пирамиды.

Так как плоский угол при вершине равен 60°, а боковые рёбра равны (6 см), то боковые грани являются равносторонними треугольниками.

1. Площадь боковой поверхности (S_бок):
   Каждая боковая грань — равносторонний треугольник со стороной 6 см.
   Площадь одного такого треугольника: \( S_{гран} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \)
   \[ S_{гран} = \frac{\sqrt{3}}{4} (6 \text{ см})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 36 \text{ см}^2 = 9\sqrt{3} \text{ см}^2 \]Пирамида имеет 3 боковые грани:
   \[ S_{бок} = 3 \cdot S_{гран} = 3 \cdot 9\sqrt{3} \text{ см}^2 = 27\sqrt{3} \text{ см}^2 \]
2. Площадь основания (S_осн):
   Основание — равносторонний треугольник со стороной 6 см.
   \[ S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = 9\sqrt{3} \text{ см}^2 \]
3. Площадь полной поверхности (S_полн):
   \[ S_{полн} = S_{бок} + S_{осн} \)
   \[ S_{полн} = 27\sqrt{3} \text{ см}^2 + 9\sqrt{3} \text{ см}^2 = 36\sqrt{3} \text{ см}^2 \]

Ответ: Площадь полной поверхности пирамиды равна 36\(\sqrt{3}\) см².