5. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки М ∈ DC1, N ∈ CC1 и К ∈ AA1.

Решение:

Для построения сечения нам нужно найти точки пересечения секущей плоскости с рёбрами куба и соединить их.

1. Дано: Куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Точки \( M \) на \( DC_1 \), \( N \) на \( CC_1 \), \( K \) на \( AA_1 \).
2. Построение сечения:
   1. Соединим точки \( K \) и \( N \) отрезком KN.
   2. Проведём через точку \( N \) прямую, параллельную \( AA_1 \) (или \( DD_1 \)). Эта прямая пересечёт ребро \( D_1C_1 \) в некоторой точке. Так как плоскость KNX (где X — точка на \( D_1C_1 \)) параллельна плоскости основания, то и точка M на \( DC_1 \) будет лежать на пересечении плоскости KNX с ребром \( D_1C_1 \).
   3. В основании ABCD, \( DC \) параллельно \( AB \). В плоскости BCC₁D₁, \( C_1D_1 \) параллельно \( BC \).
   4. В плоскости AA₁D₁D, \( A_1D_1 \) параллельно \( AD \).
   5. В плоскости AA₁B₁B, \( A_1B_1 \) параллельно \( AB \).
   6. Так как \( N \) лежит на \( CC_1 \), а \( K \) лежит на \( AA_1 \), то отрезок KN параллелен \( AC \) и \( A_1C_1 \).
   7. Через точку \( M \) (на \( DC_1 \)) проведём прямую, параллельную \( CC_1 \). Она пересечёт \( D_1C_1 \) в точке \( P \).
   8. Тогда сечением будет четырёхугольник KNM P.
3. Визуализация:
   Представьте куб. Точки K, N, M заданы.