2. Решить неравенство: (1 - √1 - 4x²)/x > 3/2

Решение:

Перенесём всё в левую часть:

\( \frac{1 - \sqrt{1 - 4x^2}}{x} - \frac{3}{2} > 0 \)

Приведём к общему знаменателю:

\( \frac{2(1 - \sqrt{1 - 4x^2}) - 3x}{2x} > 0 \)

\( \frac{2 - 2\sqrt{1 - 4x^2} - 3x}{2x} > 0 \)

Условие существования корня: \( 1 - 4x^2 \ge 0 \) \(\implies\) \( 4x^2 \le 1 \) \(\implies\) \( x^2 \le \frac{1}{4} \) \(\implies\) \( -\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2} \). Также \( x
e 0 \).

Рассмотрим два случая:

Случай 1: \( 2x > 0 \) (т.е. \( x > 0 \)).

Тогда \( 2 - 2\sqrt{1 - 4x^2} - 3x > 0 \).

\( 2 - 3x > 2\sqrt{1 - 4x^2} \).

При \( 2 - 3x < 0 \) (т.е. \( x > \frac{2}{3} \)), неравенство не выполняется, так как левая часть отрицательная, а правая неотрицательная. Но учитывая ограничение \( x \le \frac{1}{2} \), этот подслучай невозможен.

При \( 2 - 3x \ge 0 \) (т.е. \( x \le \frac{2}{3} \)), возведём обе части в квадрат:

\( (2 - 3x)^2 > 4(1 - 4x^2) \)

\( 4 - 12x + 9x^2 > 4 - 16x^2 \)

\( 25x^2 - 12x > 0 \)

\( x(25x - 12) > 0 \)

Корни: \( x = 0 \) и \( x = \frac{12}{25} \).

Решение: \( x < 0 \) или \( x > \frac{12}{25} \).

Учитывая ограничения \( 0 < x \le \frac{1}{2} \) и \( x \le \frac{2}{3} \), получаем \( \frac{12}{25} < x \le \frac{1}{2} \). (Так как \( \frac{12}{25} = 0.48 \) и \( \frac{1}{2} = 0.5 \)).

Случай 2: \( 2x < 0 \) (т.е. \( x < 0 \)).

Тогда \( 2 - 2\sqrt{1 - 4x^2} - 3x < 0 \).

\( 2 - 3x < 2\sqrt{1 - 4x^2} \).

Левая часть \( 2 - 3x \) положительна при \( x < 0 \). Возведём обе части в квадрат:

\( (2 - 3x)^2 < 4(1 - 4x^2) \)

\( 4 - 12x + 9x^2 < 4 - 16x^2 \)

\( 25x^2 - 12x < 0 \)

\( x(25x - 12) < 0 \)

Корни: \( x = 0 \) и \( x = \frac{12}{25} \).

Решение: \( 0 < x < \frac{12}{25} \).

Учитывая ограничения \( -\frac{1}{2} \le x < 0 \), получаем \( -\frac{1}{2} \le x < 0 \).

Объединяем решения обоих случаев: \( [-\frac{1}{2}, 0) \cup (\frac{12}{25}, \frac{1}{2}] \).

Ответ: \([-\frac{1}{2}, 0) \cup (\frac{12}{25}, \frac{1}{2}] \).