9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x)=1/3 x³ - 5/2 x² + 6x :

Решение:

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции, нужно сначала найти её производную и точки, в которых она равна нулю (критические точки).

1. Найдём производную функции:

\( f'(x) = \frac{d}{dx}(\frac{1}{3} x^3 - \frac{5}{2} x^2 + 6x) \)

\( f'(x) = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - \frac{5}{2} \cdot 2x + 6 \)

\( f'(x) = x^2 - 5x + 6 \)

2. Найдём критические точки, приравняв производную к нулю:

\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \).

\( x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 1}{2} = 3 \)

\( x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 1}{2} = 2 \)

Критические точки: \( x=2 \) и \( x=3 \).

3. Определим, являются ли эти точки точками максимума или минимума, используя вторую производную (или метод интервалов):

Метод интервалов:

• Возьмём интервал \( (-\infty, 2) \). Например, \( x=0 \): \( f'(0) = 0^2 - 5(0) + 6 = 6 > 0 \). Функция возрастает.
• Возьмём интервал \( (2, 3) \). Например, \( x=2.5 \): \( f'(2.5) = (2.5)^2 - 5(2.5) + 6 = 6.25 - 12.5 + 6 = -0.25 < 0 \). Функция убывает.
• Возьмём интервал \( (3, \infty) \). Например, \( x=4 \): \( f'(4) = 4^2 - 5(4) + 6 = 16 - 20 + 6 = 2 > 0 \). Функция возрастает.

Следовательно, в точке \( x=2 \) — локальный максимум, а в точке \( x=3 \) — локальный минимум.

4. Вычислим значения функции в критических точках:

\( f(2) = \frac{1}{3}(2)^3 - \frac{5}{2}(2)^2 + 6(2) = \frac{8}{3} - \frac{5}{2}(4) + 12 = \frac{8}{3} - 10 + 12 = \frac{8}{3} + 2 = \frac{8+6}{3} = \frac{14}{3} \)

\( f(3) = \frac{1}{3}(3)^3 - \frac{5}{2}(3)^2 + 6(3) = \frac{27}{3} - \frac{5}{2}(9) + 18 = 9 - \frac{45}{2} + 18 = 27 - \frac{45}{2} = \frac{54-45}{2} = \frac{9}{2} \)

5. Определим наибольшее и наименьшее значения.

Так как область определения функции — вся числовая прямая (нет ограничений), и функция стремится к \( \pm \infty \) при \( x \to \pm \infty \), то наибольшего и наименьшего глобальных значений функция не имеет.

Однако, если задание подразумевает нахождение локальных экстремумов:

Локальный максимум: \( f(2) = \frac{14}{3} \) (приблизительно 4.67)

Локальный минимум: \( f(3) = \frac{9}{2} \) (приблизительно 4.5)

Ответ: Наибольшего и наименьшего глобальных значений функция не имеет. Локальный максимум равен \( \frac{14}{3} \) в точке \( x=2 \), локальный минимум равен \( \frac{9}{2} \) в точке \( x=3 \).