4. Решить уравнение: Sin3x + COS2x = 1.

Решение:

Используем формулы:

\( \sin(3x) = \sin(2x+x) = \sin(2x)\cos(x) + \cos(2x)\sin(x) \)

\( \cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1 \)

\( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \)

Подставим:

\( (2\sin(x)\cos(x))\cos(x) + (2\cos^2(x)-1)\sin(x) + 2\cos^2(x) - 1 = 1 \)

\( 2\sin(x)\cos^2(x) + 2\sin(x)\cos^2(x) - \sin(x) + 2\cos^2(x) - 2 = 0 \)

\( 4\sin(x)\cos^2(x) - \sin(x) + 2(2\cos^2(x) - 1) = 0 \)

\( 4\sin(x)\cos^2(x) - \sin(x) + 2(-\cos(2x)) = 0 \)

\( 4\sin(x)\cos^2(x) - \sin(x) - 2\cos(2x) = 0 \)

Заменим \( \cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) \)

\( 4\sin(x)(1 - \sin^2(x)) - \sin(x) - 2(2\cos^2(x) - 1) = 0 \)

\( 4\sin(x) - 4\sin^3(x) - \sin(x) - 2(2(1-\sin^2(x)) - 1) = 0 \)

\( 3\sin(x) - 4\sin^3(x) - 2(2 - 2\sin^2(x) - 1) = 0 \)

\( 3\sin(x) - 4\sin^3(x) - 2(1 - 2\sin^2(x)) = 0 \)

\( 3\sin(x) - 4\sin^3(x) - 2 + 4\sin^2(x) = 0 \)

\( 4\sin^3(x) - 4\sin^2(x) - 3\sin(x) + 2 = 0 \)

Пусть \( t = \sin(x) \). Тогда \( 4t^3 - 4t^2 - 3t + 2 = 0 \).

Попробуем найти рациональные корни вида \( \pm 1, \pm 2, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4} \).

При \( t = 1 \): \( 4 - 4 - 3 + 2 = -1
e 0 \).

При \( t = -1 \): \( -4 - 4 + 3 + 2 = -3
e 0 \).

При \( t = 2 \): \( 4(8) - 4(4) - 3(2) + 2 = 32 - 16 - 6 + 2 = 12
e 0 \).

При \( t = -2 \): \( 4(-8) - 4(4) - 3(-2) + 2 = -32 - 16 + 6 + 2 = -40
e 0 \).

При \( t = \frac{1}{2} \): \( 4(\frac{1}{8}) - 4(\frac{1}{4}) - 3(\frac{1}{2}) + 2 = \frac{1}{2} - 1 - \frac{3}{2} + 2 = \frac{1-2-3+4}{2} = 0 \). Значит \( t = \frac{1}{2} \) — корень.

\( \sin(x) = \frac{1}{2} \).

\( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \) или \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Разделим многочлен \( 4t^3 - 4t^2 - 3t + 2 \) на \( (t - \frac{1}{2}) \) или \( (2t - 1) \).

\( (4t^3 - 4t^2 - 3t + 2) : (2t - 1) = 2t^2 - t - 2 \).

Теперь решим \( 2t^2 - t - 2 = 0 \).

\( D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 1 + 16 = 17 \).

\( t = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{4} \).

\( \sin(x) = \frac{1 + \sqrt{17}}{4} \) (больше 1, корней нет)

\( \sin(x) = \frac{1 - \sqrt{17}}{4} \) (меньше -1, корней нет)

Ответ: \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \) или \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).