6. Решить уравнение: lg |2x| = 0,25 lg |x-15|⁴.

Решение:

Запишем уравнение:

\( \lg(|2x|) = \frac{1}{4} \lg(|x-15|^4) \)

Используем свойство логарифма \( \lg(a^b) = b \lg(a) \):

\( \lg(|2x|) = \frac{1}{4} \cdot 4 \lg(|x-15|) \)

\( \lg(|2x|) = \lg(|x-15|) \)

Приравниваем аргументы логарифмов:

\( |2x| = |x-15| \)

Возведём обе части в квадрат:

\( (2x)^2 = (x-15)^2 \)

\( 4x^2 = x^2 - 30x + 225 \)

\( 3x^2 + 30x - 225 = 0 \)

Разделим на 3:

\( x^2 + 10x - 75 = 0 \)

Найдём дискриминант:

\( D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-75) = 100 + 300 = 400 \)

\( \sqrt{D} = 20 \)

Найдём корни:

\( x_1 = \frac{-10 + 20}{2} = \frac{10}{2} = 5 \)

\( x_2 = \frac{-10 - 20}{2} = \frac{-30}{2} = -15 \)

Проверим, что аргументы логарифмов не равны нулю:

При \( x=5 \): \( |2 \cdot 5| = 10
e 0 \), \( |5-15| = |-10| = 10
e 0 \).

При \( x=-15 \): \( |2 \cdot (-15)| = |-30| = 30
e 0 \), \( |-15-15| = |-30| = 30
e 0 \).

Оба корня подходят.

Ответ: \( x = 5, x = -15 \).