2) tgx + 5ctgx = 6

Решение:

Заменим \( \text{ctgx} \) через \( \text{tgx} \): \( \text{ctgx} = \frac{1}{\text{tgx}} \).

1. Подставим в уравнение: \( \text{tgx} + \frac{5}{\text{tgx}} = 6 \)
2. Пусть \( y = \text{tgx} \). Получим квадратное уравнение: \( y + \frac{5}{y} = 6 \)
3. Умножим обе части на \( y \) (при условии \( y \neq 0 \)): \( y^2 + 5 = 6y \)
4. Приведём к стандартному виду: \( y^2 - 6y + 5 = 0 \)
5. Решим квадратное уравнение: \( (y-1)(y-5) = 0 \)
6. \( y_1 = 1 \) или \( y_2 = 5 \)
7. Подставим обратно \( \text{tgx} \):
• \( \text{tgx} = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi n \), где \( n \) — любое целое число.
• \( \text{tgx} = 5 \Rightarrow x = \text{arctg} 5 + \pi k \), где \( k \) — любое целое число.

Ответ: \( x = \frac{\pi}{4} + \pi n \), \( x = \text{arctg} 5 + \pi k \), где \( n, k \in \mathbb{Z} \).