6) sinx.cos 5x = - sin 4x

Решение:

1. Перенесём всё в левую часть: \( \sin x \cos 5x + \sin 4x = 0 \)
2. Используем формулу произведения синуса и косинуса: \( \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} [\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)] \).
3. \( \frac{1}{2} [\sin(x + 5x) + \sin(x - 5x)] + \sin 4x = 0 \)
4. \( \frac{1}{2} [\sin 6x + \sin(-4x)] + \sin 4x = 0 \)
5. Так как \( \sin(-4x) = -\sin 4x \): \( \frac{1}{2} \sin 6x - \frac{1}{2} \sin 4x + \sin 4x = 0 \)
6. \( \frac{1}{2} \sin 6x + \frac{1}{2} \sin 4x = 0 \)
7. Умножим на 2: \( \sin 6x + \sin 4x = 0 \)
8. Используем формулу суммы синусов: \( \sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} \).
9. \( 2 \sin \frac{6x+4x}{2} \cos \frac{6x-4x}{2} = 0 \)
10. \( 2 \sin 5x \cos x = 0 \)
11. Приравняем каждый множитель к нулю:
• \( \sin 5x = 0 \Rightarrow 5x = \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi n}{5} \), где \( n \) — любое целое число.
• \( \cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi k \), где \( k \) — любое целое число.
12. Обратим внимание, что случай \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \) включён в первую серию решений. Например, при \( n=5/2 \), \( x = \pi/2 \). При \( n=5k+5/2 \) (что невозможно, т.к. \( n \) целое)
13. Другой способ проверить: если \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \), то \( 5x = \frac{5\pi}{2} + 5\pi k \). \( \sin (\frac{5\pi}{2} + 5\pi k) = \sin (2\pi + \frac{\pi}{2} + 5\pi k) = \sin (\frac{\pi}{2} + 5\pi k) \). Если \( k \) чётное, \( 5\pi k \) кратно \( 2\pi \), \( \sin(\pi/2) = 1 \neq 0 \). Если \( k \) нечётное, \( 5\pi k = 5\pi \), \( \sin(\pi/2 + 5\pi) = \sin(3\pi/2) = -1 \neq 0 \).
14. Проверка: \( \sin 5x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi n}{5} \). Например, \( x = \frac{\pi}{5} \). \( \sin(\pi/5) \cos(\pi) = \sin(\pi/5)(-1) = -\sin(\pi/5) \). \( -\sin(4\pi/5) = -\sin(\pi - \pi/5) = -\sin(\pi/5) \). Верно.
15. \( x = \frac{\pi}{2} \) (при \( n=5/2 \) или \( k=0 \)). \( \sin(\pi/2) \cos(5\pi/2) = 1 \cdot 0 = 0 \). \( -\sin(4 \cdot \pi/2) = -\sin(2\pi) = 0 \). Верно.
16. \( x = \pi \) (при \( n=5 \)). \( \sin(\pi) \cos(5\pi) = 0 \cdot (-1) = 0 \). \( -\sin(4\pi) = 0 \). Верно.
17. \( x = \frac{3\pi}{5} \) (при \( n=3 \)). \( \sin(3\pi/5) \cos(3\[\pi]) = \sin(3\pi/5) (-1) = -\sin(3\pi/5) \). \( -\sin(12\[\pi]/5) = -\sin(2\pi + 2\[\pi]/5) = -\sin(2\pi/5) \). \( -\sin(3\pi/5) = -\sin(2\pi/5) \) — неверно.
18. Вторая серия \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \) является частным случаем первой \( x = \frac{\pi n}{5} \) только если \( \frac{\pi}{2} + \pi k = \frac{\pi n}{5} \) для некоторых \( n, k \). \( \frac{1}{2} + k = \frac{n}{5} \Rightarrow 5 + 10k = 2n \). Это возможно, когда \( 5 + 10k \) — чётное, что никогда не случается. Таким образом, \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \) не является частным случаем \( x = \frac{\pi n}{5} \).

Ответ: \( x = \frac{\pi n}{5} \), \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \), где \( n, k \in \mathbb{Z} \).