8) √3/2 cos x - 1/2 sin x = 1

Решение:

Уравнение имеет вид \( a \cos x + b \sin x = c \). Здесь \( a = \frac{\sqrt{3}}{2} \), \( b = -\frac{1}{2} \), \( c = 1 \).

Приведём уравнение к виду \( R \cos(x + \alpha) = c \).

1. Найдем \( R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{4}{4}} = 1 \).
2. Уравнение примет вид: \( 1 \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x - \frac{1}{2} \sin x\right) = 1 \).
3. Заметим, что \( \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \) и \( \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \).
4. Используем формулу косинуса суммы: \( \cos(x + \alpha) = \cos x \cos \alpha - \sin x \sin \alpha \).
5. \( \cos x \cos \frac{\pi}{6} - \sin x \sin \frac{\pi}{6} = 1 \)
6. \( \cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = 1 \)
7. Решим полученное уравнение: \( x + \frac{\pi}{6} = 2 \pi n \), где \( n \) — любое целое число.
8. Выразим \( x \): \( x = 2 \pi n - \frac{\pi}{6} \).

Ответ: \( x = 2 \pi n - \frac{\pi}{6} \), где \( n \in \mathbb{Z} \).