4) sin²x-2sinx cos x = 3 cos² x

Решение:

1. Перенесём всё в левую часть: \( \sin^2 x - 2 \sin x \cos x - 3 \cos^2 x = 0 \)
2. Если \( \cos x = 0 \), то \( \sin^2 x = 0 \), что невозможно, так как \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \). Значит, \( \cos x \neq 0 \).
3. Разделим обе части уравнения на \( \cos^2 x \): \( \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{2 \sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{3 \cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 \)
4. Получим уравнение относительно \( \text{tgx} \): \( \text{tg}^2 x - 2 \text{tgx} - 3 = 0 \)
5. Пусть \( y = \text{tgx} \). Тогда \( y^2 - 2y - 3 = 0 \)
6. Решим квадратное уравнение: \( (y-3)(y+1) = 0 \)
7. \( y_1 = 3 \) или \( y_2 = -1 \)
8. Подставим обратно \( \text{tgx} \):
• \( \text{tgx} = 3 \Rightarrow x = \text{arctg} 3 + \pi n \), где \( n \) — любое целое число.
• \( \text{tgx} = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + \pi k \), где \( k \) — любое целое число.

Ответ: \( x = \text{arctg} 3 + \pi n \), \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi k \), где \( n, k \in \mathbb{Z} \).