7) cos²x + cos² 2x + cos² 3x = 1,5

Решение:

Используем формулу понижения степени: \( \cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2} \).

1. Применим формулу к каждому члену:
• \( \frac{1 + \cos 2x}{2} + \frac{1 + \cos 4x}{2} + \frac{1 + \cos 6x}{2} = \frac{3}{2} \)
2. Умножим обе части на 2: \( 1 + \cos 2x + 1 + \cos 4x + 1 + \cos 6x = 3 \)
3. \( 3 + \cos 2x + \cos 4x + \cos 6x = 3 \)
4. \( \cos 2x + \cos 4x + \cos 6x = 0 \)
5. Сгруппируем члены: \( (\cos 2x + \cos 6x) + \cos 4x = 0 \)
6. Используем формулу суммы косинусов: \( \cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} \).
7. \( 2 \cos \frac{2x+6x}{2} \cos \frac{2x-6x}{2} + \cos 4x = 0 \)
8. \( 2 \cos 4x \cos (-2x) + \cos 4x = 0 \)
9. Так как \( \cos(-2x) = \cos 2x \): \( 2 \cos 4x \cos 2x + \cos 4x = 0 \)
10. Вынесем \( \cos 4x \) за скобки: \( \cos 4x (2 \cos 2x + 1) = 0 \)
11. Приравняем каждый множитель к нулю:
• \( \cos 4x = 0 \Rightarrow 4x = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4} \), где \( n \) — любое целое число.
• \( 2 \cos 2x + 1 = 0 \Rightarrow \cos 2x = -\frac{1}{2} \Rightarrow 2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2 \pi k \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k \), где \( k \) — любое целое число.

Ответ: \( x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4} \), \( x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k \), где \( n, k \in \mathbb{Z} \).