2. В параллелограмме ABCD точки M, P, K, T являются серединами сторон AB, BC, CD, AD соответственно. Докажите, что площади четырёхугольников ABPT и AMKD равны.

Обозначим длину основания AB через \(b\), а высоту параллелограмма через \(h\).

1. Поскольку P и T — середины боковых сторон BC и AD, отрезок PT параллелен AB и равен ему. Расстояние между прямыми AB и PT составляет \(h/2\). Поэтому \(S_{ABPT}=b\cdot h/2\).
2. AM — половина AB, а DK — половина CD. Следовательно, AM и DK параллельны и равны \(b/2\); четырёхугольник AMKD — параллелограмм с высотой h. Поэтому \(S_{AMKD}=(b/2)\cdot h=b\cdot h/2\).

Получили \(S_{ABPT}=S_{AMKD}\).