2 вариант, 2. На стороне \(CD\) параллелограмма \(ABCD\) лежит точка \(P\) такая, что \(CP=PD\); \(O\) — точка пересечения диагоналей. Выразите векторы \(\overrightarrow{BO}\), \(\overrightarrow{BP}\), \(\overrightarrow{PA}\) через векторы \(\vec x=\overrightarrow{BA}\) и \(\vec y=\overrightarrow{BC}\).

Положим точку \(B\) началом отсчёта. Тогда положение точек задаётся векторами: \(\overrightarrow{BA}=\vec x\), \(\overrightarrow{BC}=\vec y\), \(\overrightarrow{BD}=\vec x+\vec y\).

1. Диагонали параллелограмма делятся пополам, поэтому \(\overrightarrow{BO}=\frac12(\vec x+\vec y)\).
2. Так как \(P\) — середина \(CD\), её радиус-вектор равен полусумме радиус-векторов \(C\) и \(D\): \(\overrightarrow{BP}=\frac12(\vec y+\vec x+\vec y)=\frac12\vec x+\vec y\).
3. \(\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BP}=\vec x-(\frac12\vec x+\vec y)=\frac12\vec x-\vec y\).

Ответ: \(\overrightarrow{BO}=\frac12(\vec x+\vec y)\), \(\overrightarrow{BP}=\frac12\vec x+\vec y\), \(\overrightarrow{PA}=\frac12\vec x-\vec y\).