20. MN — диаметр окружности, NP — касательная в точке N. Точки M, K и P лежат на одной прямой, причём MK = KP. Найдите x = ∠NMK.

Радиус ON перпендикулярен касательной NP. Поскольку O лежит на MN, получаем MN ⟂ NP, поэтому треугольник MNP прямоугольный с прямым углом при N.

Из MK = KP следует, что K — середина гипотенузы MP. Середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от его вершин, значит, KM = KN.

Точка K лежит на окружности, а MN — диаметр, поэтому ∠MKN = 90°. В равнобедренном треугольнике MKN углы при основании равны, откуда x = (180° − 90°) / 2 = 45°.

Ответ: x = 45°.