20. Решите уравнение \frac{2}{(x-7)^2} - \frac{11}{x-7} - 6 = 0.

Для решения этого уравнения, удобно сделать замену переменной. Пусть $$y = \frac{1}{x-7}$$. Тогда уравнение перепишется как: $$2y^2 - 11y - 6 = 0$$ Теперь решаем квадратное уравнение. Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения $$ay^2+by+c=0$$, где $$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$. В нашем случае a=2, b=-11, c=-6. $$y = \frac{11 \pm \sqrt{(-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6)}}{2 \cdot 2} = \frac{11 \pm \sqrt{121 + 48}}{4} = \frac{11 \pm \sqrt{169}}{4} = \frac{11 \pm 13}{4}$$ Получаем два значения для y: $$y_1 = \frac{11+13}{4} = \frac{24}{4} = 6$$ $$y_2 = \frac{11-13}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$$ Теперь возвращаемся к исходной переменной x, используя $$y = \frac{1}{x-7}$$. 1) Если $$y = 6$$, то $$\frac{1}{x-7} = 6$$. Отсюда $$1 = 6(x-7)$$, $$1 = 6x - 42$$, $$6x = 43$$, и $$x = \frac{43}{6}$$ 2) Если $$y = -\frac{1}{2}$$, то $$\frac{1}{x-7} = -\frac{1}{2}$$. Отсюда $$2 = -(x-7)$$, $$2 = -x+7$$, $$x = 7-2 = 5$$ Итак, решения уравнения: $$x_1 = \frac{43}{6}$$, $$x_2 = 5$$ Ответ: $$x = \frac{43}{6}, 5$$