22. Постройте график функции y = x² - |4x - 5|. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Для начала, разберёмся с функцией $$y = x^2 - |4x - 5|$$. Модуль раскрывается в зависимости от знака подмодульного выражения. 1) Если $$4x - 5 \ge 0$$, то $$x \ge \frac{5}{4}$$. В этом случае, $$|4x - 5| = 4x - 5$$, и функция принимает вид: $$y = x^2 - (4x - 5) = x^2 - 4x + 5 = (x-2)^2 + 1$$. 2) Если $$4x - 5 < 0$$, то $$x < \frac{5}{4}$$. В этом случае, $$|4x - 5| = -(4x - 5) = -4x + 5$$, и функция принимает вид: $$y = x^2 - (-4x + 5) = x^2 + 4x - 5 = (x + 2)^2 - 9$$. Таким образом, график функции состоит из двух кусков парабол, соединенных в точке $$x=\frac{5}{4}$$. Первая парабола имеет вершину в точке (2, 1) и определена для $$x \ge \frac{5}{4}$$. Вторая парабола имеет вершину в точке (-2, -9) и определена для $$x < \frac{5}{4}$$. Для того, чтобы прямая $$y = m$$ имела ровно две общие точки с графиком, она должна проходить через вершину одной из парабол или касаться одной из них. Посмотрим значения y в вершинах парабол: 1 и -9. Но есть также точка, где графики двух парабол соединяются, то есть при x = 5/4. Подставив x = 5/4 в исходную функцию, мы получим: y = (5/4)^2 - |4*(5/4) - 5| = 25/16 - 0 = 25/16 = 1.5625 Прямая y=m пересечет график в двух точках если m будет равно ординате вершины параболы с меньшим значением у ( -9 ), или ординате точки соеденения, или вершине другой параболы, но только при у > 1. Значит m = -9, m=1 и m=25/16. Итак, прямая $$y=m$$ будет пересекать график ровно в двух точках при $$m = -9$$, $$m = 1$$ и $$m = \frac{25}{16}$$. Ответ: m = -9, m=1, m=25/16