23. В треугольнике ABC угол C равен 90°, радиус вписанной окружности равен 2. Найдите площадь треугольника АВС, если АВ = 13.

Обозначим радиус вписанной окружности как r. Известно, что r = 2. Длина гипотенузы AB = 13. Пусть AC = b, BC = a. Площадь прямоугольного треугольника можно выразить через катеты как $$S = \frac{1}{2}ab$$. Также, известна формула для радиуса вписанной окружности прямоугольного треугольника: $$r = \frac{a + b - c}{2}$$, где c - гипотенуза. В нашем случае $$c = AB = 13$$. Подставим известные значения: $$2 = \frac{a + b - 13}{2}$$. Отсюда $$4 = a + b - 13$$, или $$a + b = 17$$. Используя теорему Пифагора, получим: $$a^2 + b^2 = 13^2 = 169$$. Теперь решим систему уравнений: 1) $$a+b = 17$$, тогда $$b = 17-a$$. 2) $$a^2+b^2=169$$ Подставим выражение для b из первого уравнения во второе: $$a^2 + (17-a)^2 = 169$$ $$a^2 + 289 - 34a + a^2 = 169$$ $$2a^2 - 34a + 120 = 0$$ $$a^2 - 17a + 60 = 0$$ Решим квадратное уравнение относительно a: $$a = \frac{17 \pm \sqrt{17^2 - 4 * 1 * 60}}{2} = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 240}}{2} = \frac{17 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{17 \pm 7}{2}$$ $$a_1 = \frac{17+7}{2} = 12$$ или $$a_2 = \frac{17-7}{2} = 5$$ Если $$a=12$$, то $$b = 17 - 12 = 5$$. Если $$a=5$$, то $$b=17-5=12$$. В любом случае, катеты равны 5 и 12. Найдем площадь треугольника: $$S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} * 5 * 12 = 30$$. Ответ: 30