25. В треугольнике ABC биссектриса угла А делит высоту, проведённую из вершины В, в отношении 37 : 35, считая от точки В. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если ВС = 42.

Пусть биссектриса угла A пересекает высоту, проведенную из B (назовем эту высоту BH), в точке D. По условию BD:DH = 37:35. Пусть BD = 37x, а DH = 35x. Тогда BH = BD + DH = 37x + 35x = 72x. Пусть О - центр описанной окружности. Радиус описанной окружности R = \frac{a}{2sin(A)}. В нашем случае, а = BC = 42, тогда R = \frac{42}{2sin(A)} Из свойств биссектрисы известно, что биссектриса делит противоположную сторону в отношении, равном отношению прилежащих сторон, то есть $$\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$$. Но в нашем случае используется отношение не отрезка на стороне, а отношение отрезков высоты. Поэтому нам необходимо использовать свойство биссектрисы о соотношении отрезков на высоте. Также известно, что в прямоугольном треугольнике ABD : \frac{BD}{DH} = \frac{AB}{AH}. Зная, что BD/DH = 37/35, мы можем написать : AB/AH = 37/35. Также мы знаем, что треугольники ABH и ABC подобны, т.к. имеют общий угол и прямой угол, поэтому sin(A) = BH/AB. Отсюда sin(A) = \frac{72x}{AB}. Теперь нам надо найти AB из отношения AB/AH = 37/35. В прямоугольном треугольнике ABH : $$AB^2 = AH^2 + BH^2$$ => $$AB^2=AH^2+(72x)^2$$. Из отношения AB/AH = 37/35 мы можем выразить AH = 35/37 * AB. Подставим значение в предыдущее уравнение и получим: $$AB^2=(\frac{35}{37}AB)^2+(72x)^2$$, что нам не дает никакого упрощения. В прямоугольном треугольнике BHD, имеем: sin(A) = \frac{BD}{AB}= \frac{37x}{AB}. Из свойства биссектрисы для высоты, можно сказать, что $$\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$$. Поскольку D это точка на высоте, которая делит высоту в соотношении 37:35, мы можем записать \frac{AB}{AC} = \frac{37}{35} (это другое свойство биссектрисы, которое выполняется и для высоты). Также из треугольника ABH : $$sin(A) = \frac{BH}{AB}= \frac{72x}{AB}$$. Так как биссектриса делит высоту на отрезки в соотношении 37:35, можно воспользоваться тем фактом, что отношение синусов противолежащих углов = отношению противолежащих сторон. Тогда sin(A)/sin(C) = BC/AB. То есть, мы знаем что BC = 42 и нам нужно найти sin(A). Для начала мы можем найти AB/AC = 37/35. Тогда мы можем сказать, что AB=37k, AC=35k, где k это какое-то число. Применим теорему Пифагора $$BC^2 = AB^2 + AC^2 => 42^2 = (37k)^2 + (35k)^2$$ => $$1764 = 1369k^2+1225k^2$$ => $$1764 = 2594k^2 => k^2 = \frac{1764}{2594} = 0.68$$, k = 0.8246. Значит AB=37*0.8246 = 30.5102 и AC = 28.861. Теперь мы можем найти sin(A) = BC/AB = 42/30.5102 = 1.3766. Это невозможно, sin(A) < 1. Нужно использовать свойство о том, что биссектриса угла делит противолежащую сторону в отношении прилежащих сторон. Здесь надо применить теорему синусов, где R = a/(2sinA), a = BC = 42. sinA = BH/AB. Но поскольку AD является биссектрисой угла, то BD/CD = AB/AC. Зная, что биссектриса делит высоту в отношении 37:35 и, $$\frac{AB}{AC} = \frac{37}{35}$$. Пусть AB = 37k, AC = 35k. Тогда, по теореме косинусов, $$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 * AB * AC * cos(A)$$ и по т. Пифагора : $$BC^2 = 42^2 = AB^2 + AC^2$$ (т.к. угол С прямой) = $$(37k)^2+(35k)^2$$, откуда получаем: $$1764 = 1369k^2 + 1225k^2 = 2594k^2 => k^2=0.68 , k = 0.8246$$ . Тогда AB = 37*0.8246=30.51 и AC = 35*0.8246=28.86. Теперь мы можем найти sin(A)=BC/AB = 42/30.51= 1.37 - неверно. Свойство биссектрисы на высоте: $$\frac{BD}{DH} = \frac{AB}{AH} = \frac{37}{35}$$. Если BH = 72х, тогда BD=37x, DH=35x. Рассмотрим треугольник ABH : sin(A) = $$\frac{BH}{AB} = \frac{72x}{AB}$$. $$\frac{AB}{AH} = \frac{37}{35}$$ => AH = $$\frac{35}{37}$$AB. $$AB^2=AH^2+BH^2 => AB^2= (\frac{35}{37}AB)^2 + (72x)^2$$. Нужно использовать R=a/2sinA, где а = 42 и найти sinA. Но синус А = BH/AB = (72x)/AB и R = \frac{42}{2*\frac{72x}{AB}} = \frac{42*AB}{144x}. $$\frac{BD}{DH} = \frac{37}{35}$$ и $$BD+DH=BH$$, тогда $$\frac{BH}{BD} = \frac{72}{37}$$. Известна также теорема синусов, согласно которой отношение стороны к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности. $$2R = \frac{BC}{sin(A)}$$ или $$R = \frac{BC}{2sin(A)}$$. Так как $$\frac{AB}{AC} = \frac{37}{35}$$, то sinB/sinC=AB/AC. Но у нас треугольник не прямоугольный. Пусть $$\frac{BD}{DH} = \frac{37}{35}$$ и $$\frac{BD}{BH} = \frac{37}{72}$$. Тогда $$sin(A) = \frac{35}{37}$$. И R = \frac{42}{2*\frac{35}{37}} = \frac{42*37}{70}= 22.2$$. Радиус описанной окружности = 22.2. Ответ: 22.2