20. Решите уравнение (х - 3)⁴ - 8(х - 3)² - 9 = 0.

Решение:

Данное уравнение является биквадратным относительно \( (x-3)^2 \).

Введём замену переменной: пусть \( y = (x-3)^2 \). Тогда уравнение примет вид:

\[ y^2 - 8y - 9 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение относительно \( y \).

1. Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 · 1 · (-9) = 64 + 36 = 100 \).
2. Найдём корни \( y_1 \) и \( y_2 \):

\[ y_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{100}}{2 · 1} = \frac{8 + 10}{2} = \frac{18}{2} = 9 \]

\[ y_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{100}}{2 · 1} = \frac{8 - 10}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

Теперь вернёмся к исходной переменной \( x \), подставив найденные значения \( y \) в замену \( y = (x-3)^2 \).

Случай 1: \( y = 9 \)

\[ (x-3)^2 = 9 \]

Извлечём квадратный корень из обеих частей:

\[ x-3 = ±√{9} \]

\[ x-3 = ± 3 \]

Два уравнения:

\( x - 3 = 3 \) \(\implies\) \( x = 3 + 3 = 6 \).

\( x - 3 = -3 \) \(\implies\) \( x = 3 - 3 = 0 \).

Случай 2: \( y = -1 \)

\[ (x-3)^2 = -1 \]

Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.

Таким образом, действительными корнями исходного уравнения являются \( x = 6 \) и \( x = 0 \).

Ответ: 0; 6