20. Решите уравнение $ x^2 + x + \sqrt{2-x} = \sqrt{2-x} + 12 $.

Question

Вопрос: $Фото задания: 20. Решите уравнение $ x^2 + x + \sqrt{2-x} = \sqrt{2-x} + 12 $.$ Фото задания

Accepted Answer

Данное уравнение:

$ x^2 + x + \sqrt{2-x} = \sqrt{2-x} + 12 $

Вычтем $ \sqrt{2-x} $ из обеих частей уравнения:

$ x^2 + x = 12 $

Перенесём 12 в левую часть:

$ x^2 + x - 12 = 0 $

Это квадратное уравнение. Найдём его корни. Дискриминант $ D = b^2 - 4ac $:

$ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 $

Корни уравнения:

$ x_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3 $

$ x_2 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4 $

Теперь проверим область допустимых значений (ОДЗ) для исходного уравнения. Выражение под корнем $ 2-x $ должно быть неотрицательным:

$ 2-x \ge 0 $

$ x \le 2 $

Среди найденных корней $ x_1 = 3 $ и $ x_2 = -4 $, только $ x_2 = -4 $ удовлетворяет условию $ x \le 2 $.

Ответ: -4

20. Решите уравнение \( x^2 + x + \sqrt{2-x} = \sqrt{2-x} + 12 \).