22. Изобразите график функции $ y = \begin{cases} 4x + 12, & x < -1 \\ x^2 - 4x + 3, & x \ge -1 \end{cases} $. Используя график, найдите, при каких значениях m прямая y = m пересекает график функции ровно в трёх точках.

Question

Вопрос: $Фото задания: 22. Изобразите график функции $ y = \begin{cases} 4x + 12, & x < -1 \\ x^2 - 4x + 3, & x \ge -1 \end{cases} $. Используя…$ Фото задания

22. Изобразите график функции $ y = \begin{cases} 4x + 12, & x < -1 \\ x^2 - 4x + 3, & x \ge -1 \end{cases} $. Используя график, найдите, при каких значениях m прямая y = m пересекает график функции ровно в трёх точках.

Accepted Answer

Решение:

Построение графика:

Функция задана кусочно. Рассмотрим каждую часть:

1. $ y = 4x + 12 $ при $ x < -1 $:

Это линейная функция. Построим её для $ x < -1 $.

При $ x = -1 $ (не включая): $ y = 4(-1) + 12 = -4 + 12 = 8 $. Точка $ (-1, 8) $ — выколотая.

При $ x = -2 $: $ y = 4(-2) + 12 = -8 + 12 = 4 $. Точка $ (-2, 4) $.

2. $ y = x^2 - 4x + 3 $ при $ x \ge -1 $:

Это квадратичная функция, график — парабола. Вершина параболы находится в точке $ x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2 $.

Значение $ y $ в вершине: $ y_v = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 $. Вершина параболы в точке $ (2, -1) $.

Проверим значение функции при $ x = -1 $ (включая): $ y = (-1)^2 - 4(-1) + 3 = 1 + 4 + 3 = 8 $. Точка $ (-1, 8) $.

Корни параболы $ x^2 - 4x + 3 = 0 $ находятся по теореме Виета: $ x_1 + x_2 = 4 $, $ x_1 x_2 = 3 $. Корни $ x=1 $ и $ x=3 $.

Поиск значений m:

Прямая $ y = m $ — это горизонтальная прямая.

Чтобы прямая $ y = m $ пересекала график функции ровно в трёх точках, она должна пройти через:

Точку $ (-1, 8) $, которая является началом второго луча графика (параболы) и концом первого луча (линейной функции). При $ m=8 $, прямая пересекает график в двух точках: $ (-1, 8) $ (поскольку $ x=-1 $ входит во вторую часть условия) и ещё одну точку на первой части графика, где $ 4x+12=8 $ $ \Rightarrow 4x = -4 $ $ \Rightarrow x=-1 $, но эта точка выколота. Значит, при $ m=8 $ одна точка пересечения.
Вершину параболы $ (2, -1) $. При $ m = -1 $, прямая $ y = -1 $ пересечёт параболу в одной точке (вершине).

Нам нужно три точки пересечения. Первая часть графика (прямая) при $ x < -1 $ имеет значения $ y $ от $ -∞ $ до $ 8 $ (не включая 8). Вторая часть графика (парабола) при $ x \ge -1 $ имеет значения $ y $ от $ -1 $ до $ 8 $ (включая 8).

Чтобы получить три точки пересечения, прямая $ y = m $ должна проходить между вершиной параболы и точкой $ (-1, 8) $ на графике, при этом пересекая обе части функции.

Первый луч (прямая) задаёт значения $ y $ от $ -∞ $ до $ 8 $ (не включая 8).

Второй луч (парабола) задаёт значения $ y $ от $ -1 $ (включая вершину) до $ 8 $ (включая точку $ (-1, 8) $).

Если $ m $ находится в интервале $ (-1, 8) $, то прямая $ y = m $ пересечёт параболу в двух точках (одна слева от вершины, другая справа) и первую часть графика (прямую) в одной точке.

При $ m = -1 $, есть одна точка (вершина).

При $ m = 8 $, есть одна точка (на параболе, $ x=-1 $).

Нам нужно, чтобы прямая пересекала первую часть графика (где $ x < -1 $) и вторую часть графика (где $ x ≥ -1 $) в нескольких точках.

Рассмотрим случай, когда $ y = m $ пересекает параболу в двух точках, и прямую в одной точке. Это произойдет, когда $ -1 < m < 8 $.

В этом интервале:

Прямая $ y = m $ пересекает $ y = 4x + 12 $ в одной точке (так как $ m < 8 $ и $ 4x+12 $ доходит до 8).
Прямая $ y = m $ пересекает $ y = x^2 - 4x + 3 $ в двух точках (так как $ m $ находится между минимумом $ -1 $ и $ 8 $ на параболе).

Суммарно получается 1 + 2 = 3 точки пересечения.

Таким образом, $ m $ должно быть в интервале $ (-1, 8) $.

Ответ: -1 < m < 8