21. Два велосипедиста одновременно отправляются в 135-километровый пробег. Первый едет со скоростью, которая на 12 км/ч больше скорости второго, и прибывает к финишу на 3 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

Решение:

Пусть \( v_2 \) — скорость второго велосипедиста (км/ч), а \( v_1 \) — скорость первого велосипедиста (км/ч).

По условию, \( v_1 = v_2 + 12 \).

Расстояние \( S = 135 \) км.

Время первого велосипедиста \( t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{135}{v_2 + 12} \).

Время второго велосипедиста \( t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{135}{v_2} \).

По условию, первый велосипедист прибывает на 3 часа раньше второго, то есть \( t_2 - t_1 = 3 \).

Подставим выражения для времени:

\( \frac{135}{v_2} - \frac{135}{v_2 + 12} = 3 \)

Умножим обе части уравнения на \( v_2(v_2 + 12) \) для избавления от знаменателей:

\( 135(v_2 + 12) - 135v_2 = 3v_2(v_2 + 12) \)

\( 135v_2 + 135 \cdot 12 - 135v_2 = 3v_2^2 + 36v_2 \)

\( 1620 = 3v_2^2 + 36v_2 \)

Разделим всё на 3:

\( 540 = v_2^2 + 12v_2 \)

Перенесём всё в левую часть:

\( v_2^2 + 12v_2 - 540 = 0 \)

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac \):

\( D = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-540) = 144 + 2160 = 2304 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{2304} = 48 \)

Найдем \( v_2 \):

\( v_2 = \frac{-12 \pm 48}{2} \)

\( v_{2,1} = \frac{-12 + 48}{2} = \frac{36}{2} = 18 \)

\( v_{2,2} = \frac{-12 - 48}{2} = \frac{-60}{2} = -30 \)

Скорость не может быть отрицательной, поэтому \( v_2 = 18 \) км/ч.

Ответ: 18