20. Решите уравнение x⁴ = (4x-5)².

Решение:

Перепишем уравнение:

\( x^4 = (4x-5)^2 \)

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

\( x^2 = ±(4x-5) \)

Рассмотрим два случая:

1. Случай 1: \( x^2 = 4x-5 \)

Перенесем все члены в левую часть:

\( x^2 - 4x + 5 = 0 \)

Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4 \]

Так как \( D < 0 \), этот случай не имеет действительных корней.

2. Случай 2: \( x^2 = -(4x-5) \)

\( x^2 = -4x + 5 \)

Перенесем все члены в левую часть:

\( x^2 + 4x - 5 = 0 \)

Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 \]

Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два действительных корня:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \]

Ответ: x = 1, x = -5.