Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
Сначала упростим выражение для функции:
Знаменатель: \( (x-3)(x+2) = x^2 - x - 6 \)
Числитель: \( x^4 - 13x^2 + 36 \). Это биквадратное уравнение. Пусть \( z = x^2 \), тогда \( z^2 - 13z + 36 = 0 \).
Найдем корни для \( z \):
\[ D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 169 - 144 = 25 \]
\[ z_1 = \frac{13 + \sqrt{25}}{2} = \frac{13+5}{2} = 9 \]
\[ z_2 = \frac{13 - \sqrt{25}}{2} = \frac{13-5}{2} = 4 \]
Значит, \( x^2 = 9 \) или \( x^2 = 4 \).
Отсюда \( x = ±3 \) и \( x = ±2 \).
Разложим числитель на множители:
\( x^4 - 13x^2 + 36 = (x^2 - 9)(x^2 - 4) = (x-3)(x+3)(x-2)(x+2) \)
Теперь подставим разложение в исходную функцию:
\( y = \frac{(x-3)(x+3)(x-2)(x+2)}{(x-3)(x+2)} \)
Сократим множители \( (x-3) \) и \( (x+2) \), учитывая, что \( x \neq 3 \) и \( x \neq -2 \).
\( y = (x+3)(x-2) \) при \( x \neq 3 \) и \( x \neq -2 \).
\( y = x^2 + x - 6 \)
Это парабола с выколотыми точками при \( x = 3 \) и \( x = -2 \).
Найдем значения \( y \) в выколотых точках:
При \( x = 3 \): \( y = 3^2 + 3 - 6 = 9 + 3 - 6 = 6 \). Точка \( (3, 6) \) выколота.
При \( x = -2 \): \( y = (-2)^2 + (-2) - 6 = 4 - 2 - 6 = -4 \). Точка \( (-2, -4) \) выколота.
График функции — это парабола \( y = x^2 + x - 6 \) с выколотыми точками \( (3, 6) \) и \( (-2, -4) \).
Вершина параболы находится в точке \( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2} \).
\( y_{вершины} = (-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2}) - 6 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 6 = \frac{1 - 2 - 24}{4} = -\frac{25}{4} = -6.25 \)
Прямая \( y = c \) имеет с графиком ровно одну общую точку в следующих случаях:
- Когда \( y = c \) проходит через выколотую точку, но не является касательной к параболе в другой точке.
- Через точку \( (3, 6) \) при \( c = 6 \). В этом случае парабола \( y = x^2 + x - 6 \) будет иметь две точки пересечения с прямой \( y=6 \), но одна из них (при \( x=3 \)) будет выколота.
- Через точку \( (-2, -4) \) при \( c = -4 \). В этом случае парабола \( y = x^2 + x - 6 \) будет иметь две точки пересечения с прямой \( y=-4 \), но одна из них (при \( x=-2 \)) будет выколота.
- Когда \( y = c \) совпадает с ординатой вершины параболы, и эта вершина не является выколотой точкой.
- Вершина параболы находится в точке \( y = -6.25 \). Эта точка не выколота.
Таким образом, прямая \( y = c \) будет иметь ровно одну общую точку с графиком функции, если:
- \( c = 6 \) (прямая проходит через выколотую точку \( (3, 6) \), при этом другая точка пересечения \( x^2+x-6=6 \rightarrow x^2+x-12=0 \rightarrow (x+4)(x-3)=0 \rightarrow x=-4 \) существует).
- \( c = -4 \) (прямая проходит через выколотую точку \( (-2, -4) \), при этом другая точка пересечения \( x^2+x-6=-4 \rightarrow x^2+x-2=0 \rightarrow (x+2)(x-1)=0 \rightarrow x=1 \) существует).
- \( c = -6.25 \) (прямая проходит через вершину параболы).
Ответ: c = 6, c = -4, c = -6.25.
