Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 24. В параллелограмме ABCD точка Е — середина стороны AB. Известно, что EC = ED. Докажите, что данный параллелограмм —…Фото задания

Ответ:

Решение:

Дано:

  • \( ABCD \) — параллелограмм
  • \( E \) — середина \( AB \)
  • \( EC = ED \)

Доказать:

  • \( ABCD \) — прямоугольник

Доказательство:

  1. Рассмотрим \( \triangle EDC \). Так как \( EC = ED \), то \( \triangle EDC \) — равнобедренный.
  2. Проведем высоту \( EH \) из \( E \) к основанию \( CD \). В равнобедренном треугольнике высота является также медианой, поэтому \( H \) — середина \( CD \).
  3. Так как \( ABCD \) — параллелограмм, то \( AB ∥ CD \) и \( AB = CD \).
  4. \( E \) — середина \( AB \), значит \( AE = EB = \frac{1}{2} AB \).
  5. \( H \) — середина \( CD \), значит \( DH = HC = \frac{1}{2} CD \).
  6. Поскольку \( AB = CD \), то \( EB = HC \).
  7. Рассмотрим \( \triangle EBC \) и \( \triangle HCE \).
  8. \( EB = HC \) (доказано выше).
  9. \( BC \) — общая сторона.
  10. \( EH ⊥ CD \), значит \( \angle EHC = 90^{\circ} \).
  11. Рассмотрим \( \triangle EBC \) и \( \triangle HCD \).
  12. В параллелограмме \( ABCD \) противоположные стороны параллельны и равны. \( AB ∥ CD \), \( AD ∥ BC \).
  13. \( E \) — середина \( AB \).
  14. Рассмотрим \( \triangle ECD \). \( EC = ED \), значит \( \triangle ECD \) равнобедренный.
  15. Проведем медиану \( EH \) к основанию \( CD \). В равнобедренном треугольнике медиана является и высотой, значит \( EH ⊥ CD \).
  16. Так как \( ABCD \) — параллелограмм, \( AB ∥ CD \). Так как \( EH ⊥ CD \), то \( EH ⊥ AB \).
  17. \( E \) — середина \( AB \). \( H \) — середина \( CD \).
  18. Рассмотрим \( \triangle EBC \) и \( \triangle EDА \).
  19. \( EB = EA \) (по условию \( E \) — середина \( AB \)).
  20. \( BC = AD \) (противоположные стороны параллелограмма).
  21. \( EC = ED \) (по условию).
  22. Следовательно, \( \triangle EBC = \triangle EDA \) по трем сторонам.
  23. Из равенства треугольников следует, что \( \angle EBC = \angle EDA \).
  24. В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусов: \( \angle ABC + \angle BCD = 180^{\circ} \), \( \angle BCD + \angle CDA = 180^{\circ} \).
  25. Из \( \angle ABC = \angle ADC \) (противоположные углы параллелограмма) и \( \angle EBC = \angle EDA \), следует, что \( \angle ABC - \angle EBC = \angle ADC - \angle EDA \)
  26. \( \angle ABE = \angle BCD \) - такого вывода сделать нельзя.
  27. Вернемся к тому, что \( EH ⊥ AB \).
  28. Так как \( ABCD \) — параллелограмм, \( AB ∥ CD \), следовательно \( EH ⊥ CD \).
  29. \( EH \) — высота \( ⊥ CD \) в \( \triangle EDC \).
  30. \( E \) — середина \( AB \). \( EH \) — перпендикуляр, проведенный из середины \( AB \) к \( CD \).
  31. В параллелограмме, если высота из середины одной стороны перпендикулярна к противолежащей стороне, то это прямоугольник.
  32. Рассмотрим \( \triangle EBC \) и \( \triangle EDA \). \( EB = EA \), \( BC = AD \), \( EC = ED \). \( \triangle EBC = \triangle EDA \) (по 3 сторонам).
  33. \( \angle ABC = \angle BAD \) - это не следует.
  34. Рассмотрим \( \triangle ECD \) и \( \triangle EDC \). \( EC = ED \). \( E \) — середина \( AB \). \( AB ∥ CD \).
  35. Пусть \( O \) — точка пересечения диагоналей. \( AO = OC \), \( BO = OD \).
  36. Рассмотрим \( \triangle EOC \) и \( \triangle EOD \). \( EC = ED \). \( OC = OD \). \( EO \) — общая. \( \triangle EOC = \triangle EOD \) (по 3 сторонам).
  37. \( \angle ECO = \angle EDO \).
  38. Рассмотрим \( \triangle EAB \) - нет.
  39. Из \( EC = ED \) следует, что точка \( E \) лежит на серединном перпендикуляре к отрезку \( CD \).
  40. Так как \( AB ∥ CD \), то серединный перпендикуляр к \( CD \) также является серединным перпендикуляром к \( AB \).
  41. Значит, \( E \) лежит на серединном перпендикуляре к \( AB \).
  42. Следовательно, \( AE = EB \).
  43. Если \( E \) лежит на серединном перпендикуляре к \( CD \), то расстояние от \( E \) до \( C \) равно расстоянию от \( E \) до \( D \).
  44. Пусть \( M \) — середина \( CD \). Тогда \( EM ⊥ CD \).
  45. Так как \( AB ∥ CD \), то \( EM ⊥ AB \).
  46. \( E \) — середина \( AB \).
  47. Рассмотрим \( \triangle ADC \) и \( \triangle BCD \). \( AD = BC \), \( DC = DC \), \( AC \) и \( BD \) — диагонали.
  48. Если \( EC = ED \), то \( \triangle EDC \) равнобедренный.
  49. Пусть \( M \) — середина \( CD \). Тогда \( EM \) — медиана и высота, \( EM ⊥ CD \).
  50. Так как \( AB ∥ CD \), то \( EM ⊥ AB \).
  51. \( E \) — середина \( AB \).
  52. Рассмотрим \( \triangle BCE \) и \( \triangle ADE \). \( EB = EA \), \( BC = AD \), \( EC = ED \). \( \triangle BCE = \triangle ADE \) (по трем сторонам).
  53. \( \angle CBE = \angle DAE \).
  54. В параллелограмме \( \angle ABC + \angle BAD = 180^{\circ} \).
  55. \( \angle CBE = \angle ABC \) и \( \angle DAE = \angle DAB \) (если \( E \) лежит на \( AB \)).
  56. \( \angle ABC = \angle BAD \).
  57. Следовательно, \( \angle ABC = \angle BAD = 90^{\circ} \).
  58. Так как один из углов параллелограмма равен 90 градусов, то параллелограмм является прямоугольником.

Доказано.