20. Тип 20 № 472415 Решите неравенство $$x < \frac{9}{x}$$

Привет! Давай решим это неравенство.

Неравенство:

\[ x < \frac{9}{x} \]

Решение:

Чтобы решить это неравенство, нам нужно привести его к виду, где все члены находятся с одной стороны от знака неравенства. Важно помнить, что нельзя просто умножить обе части на $$x$$, потому что $$x$$ может быть как положительным, так и отрицательным, а от этого зависит знак неравенства.

1. Перенесем все в одну сторону:

\[ x - \frac{9}{x} < 0 \]

2. Приведем к общему знаменателю:

\[ \frac{x · x}{x} - \frac{9}{x} < 0 \]

\[ \frac{x^2 - 9}{x} < 0 \]

3. Разложим числитель на множители (разность квадратов):

\[ \frac{(x - 3)(x + 3)}{x} < 0 \]

4. Найдем корни числителя и знаменателя:
• $$x - 3 = 0 ⇒ x = 3$$
• $$x + 3 = 0 ⇒ x = -3$$
• $$x = 0$$ (знаменатель не может быть равен нулю)
5. Разобьем числовую прямую на интервалы с помощью найденных точек:

Это точки -3, 0, 3.

• Интервал 1: $$(-∞, -3)$$
• Интервал 2: $$(-3, 0)$$
• Интервал 3: $$(0, 3)$$
• Интервал 4: $$(3, +∞)$$
6. Проверим знак выражения $$\frac{(x - 3)(x + 3)}{x}$$ на каждом интервале:
• Интервал 1 ($$x < -3$$): Возьмем $$x = -4$$. Выражение: $$\frac{(-4-3)(-4+3)}{-4} = \frac{(-7)(-1)}{-4} = \frac{7}{-4} < 0$$. Знак "-".
• Интервал 2 ($$-3 < x < 0$$): Возьмем $$x = -1$$. Выражение: $$\frac{(-1-3)(-1+3)}{-1} = \frac{(-4)(2)}{-1} = \frac{-8}{-1} > 0$$. Знак "+".
• Интервал 3 ($$0 < x < 3$$): Возьмем $$x = 1$$. Выражение: $$\frac{(1-3)(1+3)}{1} = \frac{(-2)(4)}{1} = -8 < 0$$. Знак "-".
• Интервал 4 ($$x > 3$$): Возьмем $$x = 4$$. Выражение: $$\frac{(4-3)(4+3)}{4} = \frac{(1)(7)}{4} = \frac{7}{4} > 0$$. Знак "+".

Нам нужно найти, где выражение меньше нуля (знак "-").

Это интервалы $$(-∞, -3)$$ и $$(0, 3)$$.

Ответ: $$x < -3$$ или $$0 < x < 3$$