22. Тип 22 № 353274 Постройте график функции $$y = |x^2 + 4x - 5|$$. Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?

Привет! Давай разберемся с графиком и его пересечениями.

Функция: $$y = |x^2 + 4x - 5|$$

Задача: Найти максимальное число точек пересечения этого графика с прямой, параллельной оси абсцисс (то есть с прямой вида $$y = k$$, где k — константа).

Решение:

Сначала вспомним, как выглядит график функции $$y = x^2 + 4x - 5$$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Ее вершина находится в точке (-2, -9), а корни (точки пересечения с осью Ox) — в x = -5 и x = 1.

Теперь рассмотрим функцию $$y = |x^2 + 4x - 5|$$. Модуль означает, что отрицательные значения функции становятся положительными. Поэтому:

• Часть параболы, которая находится выше оси Ox (или на ней), остается без изменений.
• Часть параболы, которая находится ниже оси Ox (между корнями -5 и 1, включая вершину в (-2, -9)), зеркально отражается вверх.

Таким образом, график функции $$y = |x^2 + 4x - 5|$$ будет состоять из:

• Двух "кусочков" параболы, идущих вверх от корней (-5 и 1).
• "Горба", который является отражением нижней части параболы, с вершиной, поднятой до точки (-2, 9).

Теперь представим прямую, параллельную оси абсцисс, то есть прямую $$y = k$$. Эта прямая — горизонтальная.

Рассмотрим, сколько раз такая прямая может пересечь наш график:

• Если $$k < 0$$ (прямая ниже оси Ox): Прямая не пересечет график, так как все значения функции $$y = |x^2 + 4x - 5|$$ неотрицательны (больше или равны нулю). Количество точек пересечения = 0.
• Если $$k = 0$$ (прямая совпадает с осью Ox): Прямая пересечет график в двух точках, которые являются корнями исходной параболы: x = -5 и x = 1. Количество точек пересечения = 2.
• Если $$0 < k < 9$$: Прямая $$y = k$$ пересечет "отраженную" часть параболы в двух точках, а также пересечет две "боковые" части параболы (левую и правую). Всего будет 4 точки пересечения.
• Если $$k = 9$$: Прямая $$y = 9$$ пересечет "отраженную" часть параболы в одной точке (вершина поднятого "горба" в (-2, 9)), а также пересечет две "боковые" части параболы. Всего будет 3 точки пересечения.
• Если $$k > 9$$: Прямая $$y = k$$ пересечет только две "боковые" части параболы. Количество точек пересечения = 2.

Максимальное количество точек пересечения достигается, когда $$0 < k < 9$$. В этом случае прямая пересекает график в 4 точках.

Ответ: 4