21. Тип 21 № 351543 Из А в В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 30 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью, большей скорости первого на 9 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста.

Привет! Давай разберемся с этой задачей на движение.

Дано:

• Два автомобилиста выехали одновременно из пункта А в пункт В.
• Пусть расстояние от А до В будет S км.
• Первый автомобилист:
• Скорость = $$v_1$$ (постоянная).
• Время = $$t_1 = S / v_1$$.
• Второй автомобилист:
• Первая половина пути = $$S/2$$, скорость = 30 км/ч. Время = $$t_{2a} = (S/2) / 30 = S/60$$.
• Вторая половина пути = $$S/2$$, скорость = $$v_1 + 9$$ км/ч. Время = $$t_{2b} = (S/2) / (v_1 + 9)$$.
• Общее время = $$t_2 = t_{2a} + t_{2b} = S/60 + (S/2) / (v_1 + 9)$$.
• Автомобилисты прибыли одновременно, значит, $$t_1 = t_2$$.

Найти:

• Скорость первого автомобилиста ($$v_1$$).

Решение:

Так как $$t_1 = t_2$$, мы можем приравнять выражения для времени:

\[ \frac{S}{v_1} = \frac{S}{60} + \frac{S}{2(v_1 + 9)} \]

Так как S (расстояние) — это положительное число, мы можем разделить обе части уравнения на S:

\[ \frac{1}{v_1} = \frac{1}{60} + \frac{1}{2(v_1 + 9)} \]

Теперь будем решать это уравнение относительно $$v_1$$.

1. Приведем правую часть к общему знаменателю:

\[ \frac{1}{v_1} = \frac{2(v_1 + 9) + 60}{60 · 2(v_1 + 9)} \]

\[ \frac{1}{v_1} = \frac{2v_1 + 18 + 60}{120(v_1 + 9)} \]

\[ \frac{1}{v_1} = \frac{2v_1 + 78}{120(v_1 + 9)} \]

2. Перекрестно умножим:

\[ 1 · 120(v_1 + 9) = v_1 · (2v_1 + 78) \]

\[ 120v_1 + 1080 = 2v_1^2 + 78v_1 \]

3. Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ 2v_1^2 + 78v_1 - 120v_1 - 1080 = 0 \]

\[ 2v_1^2 - 42v_1 - 1080 = 0 \]

4. Разделим все на 2, чтобы упростить:

\[ v_1^2 - 21v_1 - 540 = 0 \]

5. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac \]

\[ D = (-21)^2 - 4 · 1 · (-540) \]

\[ D = 441 + 2160 \]

\[ D = 2601 \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{2601} = 51 \]

6. Найдем корни $$v_1$$:

\[ v_1 = \frac{-b ± \sqrt{D}}{2a} \]

\[ v_1 = \frac{21 ± 51}{2} \]

Два возможных значения:

• $$v_{1,1} = (21 + 51) / 2 = 72 / 2 = 36$$
• $$v_{1,2} = (21 - 51) / 2 = -30 / 2 = -15$$

Так как скорость не может быть отрицательной, мы выбираем положительное значение.

Итак, скорость первого автомобилиста равна 36 км/ч.

Проверим:

• Если $$v_1 = 36$$ км/ч, то $$t_1 = S/36$$.
• Скорость второго на втором участке: $$36 + 9 = 45$$ км/ч.
• Время второго: $$t_2 = S/60 + (S/2)/45 = S/60 + S/90$$.
• Приведем к общему знаменателю (180): $$t_2 = (3S + 2S)/180 = 5S/180 = S/36$$.

Время совпадает, значит, решение верное.

Ответ: 36