21. Докажите, что если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Пусть диагонали AC и BD пересекаются в точке O, причём AO = OC и BO = OD.

1. Рассмотрим треугольники AOB и COD. У них AO = OC, BO = OD, а углы AOB и COD равны как вертикальные. Следовательно, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.
2. Из равенства треугольников следует, что AB = CD и соответствующие углы при этих сторонах равны; значит, AB ∥ CD.
3. Аналогично, треугольники AOD и COB равны, откуда AD ∥ BC.

У четырёхугольника обе пары противоположных сторон параллельны, поэтому он является параллелограммом.