22. В параллелограмме диагонали перпендикулярны. Докажите, что этот параллелограмм — ромб.

Пусть диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O под прямым углом. Диагонали параллелограмма делятся пополам, поэтому AO = OC и BO = OD.

Треугольники AOB и BOC прямоугольные; у них AO = OC, а OB — общий катет. Следовательно, они равны по двум катетам, и AB = BC. В параллелограмме противоположные стороны равны: AB = CD, BC = AD. Значит, все четыре стороны равны, то есть ABCD — ромб.