21. Отрезки АВ и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки АС и BD пересекаются в точке М. Найдите МС, если АВ = 14, DC=42, AC=52.

Решение:

Рассмотрим треугольники \( \triangle ABM \) и \( \triangle CDM \).

Так как AB || DC, то:

• \\(\angle BAM = \\angle DCM \) (как накрест лежащие при параллельных прямых AB и DC и секущей AC).
• \\(\angle ABM = \\angle CDM \) (как накрест лежащие при параллельных прямых AB и DC и секущей BD).

Следовательно, \( \triangle ABM \sim \triangle CDM \) по двум углам.

Из подобия треугольников следует отношение их сторон:

\( \frac{AM}{MC} = \frac{BM}{MD} = \frac{AB}{CD} \)

Нам дано: \( AB = 14 \), \( DC = 42 \), \( AC = 52 \).

Из отношения сторон имеем:

\( \frac{AM}{MC} = \frac{AB}{CD} = \frac{14}{42} = \frac{1}{3} \)

Значит, \( AM = \frac{1}{3} MC \).

Также мы знаем, что \( AC = AM + MC \).

Подставим \( AM = \frac{1}{3} MC \) в это уравнение:

\( 52 = \frac{1}{3} MC + MC \)

\( 52 = \frac{4}{3} MC \)

Выразим \( MC \):

\( MC = 52 \cdot \frac{3}{4} = 13 \cdot 3 = 39 \)

Ответ: 39