219. Сократите дробь: а) $\dfrac{a^2-4a+4}{a^2+ab-2a-2b}$; б) $\dfrac{6x^2-3xy+4x-2y}{9x^2+12x+4}$; в) $\dfrac{a^2+4ab+4b^2}{a^3+8b^3}$; г) $\dfrac{27x^3-y^3}{18x^2+6xy+2y^2}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 219. Сократите дробь: а) $\dfrac{a^2-4a+4}{a^2+ab-2a-2b}$; б) $\dfrac{6x^2-3xy+4x-2y}{9x^2+12x+4}$; в)…$ Фото задания

Accepted Answer

Разложим числитель и знаменатель на множители:
$\dfrac{a^2-4a+4}{a^2+ab-2a-2b}=\dfrac{(a-2)^2}{a(a-2)+b(a-2)}=\dfrac{(a-2)^2}{(a+b)(a-2)}=\dfrac{a-2}{a+b}.$
Группируем слагаемые:
$\dfrac{6x^2-3xy+4x-2y}{9x^2+12x+4}=\dfrac{3x(2x-y)+2(2x-y)}{(3x+2)^2}=\dfrac{(3x+2)(2x-y)}{(3x+2)^2}=\dfrac{2x-y}{3x+2}.$
Используем формулы квадрата суммы и суммы кубов:
$\dfrac{a^2+4ab+4b^2}{a^3+8b^3}=\dfrac{(a+2b)^2}{(a+2b)(a^2-2ab+4b^2)}=\dfrac{a+2b}{a^2-2ab+4b^2}.$
Используем формулу разности кубов:
$\dfrac{27x^3-y^3}{18x^2+6xy+2y^2}=\dfrac{(3x-y)(9x^2+3xy+y^2)}{2(9x^2+3xy+y^2)}=\dfrac{3x-y}{2}.$

Сокращение выполнено при условии, что знаменатели исходных дробей не равны нулю.

219. Сократите дробь: а) \(\dfrac{a^2-4a+4}{a^2+ab-2a-2b}\); б) \(\dfrac{6x^2-3xy+4x-2y}{9x^2+12x+4}\); в) \(\dfrac{a^2+4ab+4b^2}{a^3+8b^3}\); г) \(\dfrac{27x^3-y^3}{18x^2+6xy+2y^2}\).