221. Докажите, что если в дроби \(\dfrac{x^2-2y^2}{3y^2+5xy}\) переменные \(x\) и \(y\) заменить соответственно на \(kx\) и \(ky\), где \(k\ne0\), то получится дробь, тождественно равная первоначальной.

Подставим вместо \(x\) и \(y\) соответственно \(kx\) и \(ky\):

\(\dfrac{(kx)^2-2(ky)^2}{3(ky)^2+5(kx)(ky)}=\dfrac{k^2x^2-2k^2y^2}{3k^2y^2+5k^2xy}.\)

Вынесем общий множитель \(k^2\) в числителе и знаменателе. Поскольку \(k\ne0\), можно сократить на \(k^2\):

\(\dfrac{k^2(x^2-2y^2)}{k^2(3y^2+5xy)}=\dfrac{x^2-2y^2}{3y^2+5xy}.\)

Полученная дробь тождественно равна первоначальной для всех допустимых значений переменных.