220. Выполните сокращение: а) $\dfrac{b^{14}-b^7+1}{b^{21}+1}$; б) $\dfrac{x^{33}-1}{x^{33}+x^{22}+x^{11}}$; в) $\dfrac{x(y-z)-y(x-z)}{x(y-z)^2-y(x-z)^2}$; г) $\dfrac{a(b+1)^2-b(a+1)^2}{a(b+1)-b(a+1)}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 220. Выполните сокращение: а) $\dfrac{b^{14}-b^7+1}{b^{21}+1}$; б) $\dfrac{x^{33}-1}{x^{33}+x^{22}+x^{11}}$; в)…$ Фото задания

Accepted Answer

Положим $t=b^7$. Тогда $b^{21}+1=t^3+1=(t+1)(t^2-t+1)$, поэтому
$\dfrac{b^{14}-b^7+1}{b^{21}+1}=\dfrac{t^2-t+1}{(t+1)(t^2-t+1)}=\dfrac{1}{b^7+1}.$
Положим $t=x^{11}$. Разложим разность кубов и вынесем общий множитель в знаменателе:
$\dfrac{x^{33}-1}{x^{33}+x^{22}+x^{11}}=\dfrac{(t-1)(t^2+t+1)}{t(t^2+t+1)}=\dfrac{x^{11}-1}{x^{11}}.$
Раскроем скобки и сгруппируем:
$x(y-z)-y(x-z)=z(y-x),$
$x(y-z)^2-y(x-z)^2=(y-x)(xy-z^2).$
Значит, $\dfrac{x(y-z)-y(x-z)}{x(y-z)^2-y(x-z)^2}=\dfrac{z(y-x)}{(y-x)(xy-z^2)}=\dfrac{z}{xy-z^2}.$
Раскроем скобки в числителе и знаменателе:
$a(b+1)^2-b(a+1)^2=(a-b)(ab+1),\quad a(b+1)-b(a+1)=a-b.$
Следовательно, $\dfrac{a(b+1)^2-b(a+1)^2}{a(b+1)-b(a+1)}=ab+1.$

В каждом пункте исходный знаменатель должен быть отличен от нуля.

220. Выполните сокращение: а) \(\dfrac{b^{14}-b^7+1}{b^{21}+1}\); б) \(\dfrac{x^{33}-1}{x^{33}+x^{22}+x^{11}}\); в) \(\dfrac{x(y-z)-y(x-z)}{x(y-z)^2-y(x-z)^2}\); г) \(\dfrac{a(b+1)^2-b(a+1)^2}{a(b+1)-b(a+1)}\).