225. Докажите, что данное выражение тождественно равно многочлену: а) $\dfrac{(y-b)^2}{y-b+1}+\dfrac{y-b}{y-b+1}$; б) $\dfrac{(a+x)^2}{a+x-2}-\dfrac{2a+2x}{a+x-2}$; в) $\dfrac{x^2-y^2}{x-y-1}+\dfrac{x+y}{y-x+1}$; г) $\dfrac{b^2-9c^2}{b+3c-2}+\dfrac{2(b-3c)}{2-b-3c}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 225. Докажите, что данное выражение тождественно равно многочлену: а) $\dfrac{(y-b)^2}{y-b+1}+\dfrac{y-b}{y-b+1}$; б)…$ Фото задания

225. Докажите, что данное выражение тождественно равно многочлену: а) $\dfrac{(y-b)^2}{y-b+1}+\dfrac{y-b}{y-b+1}$; б) $\dfrac{(a+x)^2}{a+x-2}-\dfrac{2a+2x}{a+x-2}$; в) $\dfrac{x^2-y^2}{x-y-1}+\dfrac{x+y}{y-x+1}$; г) $\dfrac{b^2-9c^2}{b+3c-2}+\dfrac{2(b-3c)}{2-b-3c}$.

Accepted Answer

В числителе вынесем общий множитель $y-b$:
$\dfrac{(y-b)^2}{y-b+1}+\dfrac{y-b}{y-b+1}=\dfrac{(y-b)^2+(y-b)}{y-b+1}=\dfrac{(y-b)(y-b+1)}{y-b+1}=y-b.$
Обозначим для преобразования $t=a+x$:
$\dfrac{(a+x)^2}{a+x-2}-\dfrac{2a+2x}{a+x-2}=\dfrac{t^2-2t}{t-2}=\dfrac{t(t-2)}{t-2}=t=a+x.$
Заметим, что $y-x+1=-(x-y-1)$, а $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$:
$\dfrac{x^2-y^2}{x-y-1}+\dfrac{x+y}{y-x+1}=\dfrac{(x-y)(x+y)-(x+y)}{x-y-1}=\dfrac{(x+y)(x-y-1)}{x-y-1}=x+y.$
Заметим, что $2-b-3c=-(b+3c-2)$, и разложим разность квадратов:
$\dfrac{b^2-9c^2}{b+3c-2}+\dfrac{2(b-3c)}{2-b-3c}=\dfrac{(b-3c)(b+3c)-2(b-3c)}{b+3c-2}=\dfrac{(b-3c)(b+3c-2)}{b+3c-2}=b-3c.$

Равенства верны при допустимых значениях переменных, для которых исходные знаменатели не равны нулю.

Ответ: