226. Докажите, что если правильная обыкновенная дробь \(\dfrac ab\) несократима, то дробь, дополняющая её до единицы, также несократима.

Дробь, дополняющая \(\dfrac ab\) до единицы, равна \(1-\dfrac ab=\dfrac{b-a}{b}\).

Так как \(\dfrac ab\) несократима, наибольший общий делитель чисел \(a\) и \(b\) равен 1. Пусть число \(d\) делит и \(b-a\), и \(b\). Тогда оно делит их разность \(b-(b-a)=a\). Значит, любой общий делитель чисел \(b-a\\) и \(b\) одновременно является общим делителем \(a\) и \(b\), а потому равен 1.

Следовательно, \(\dfrac{b-a}{b}\) несократима.