22. Постройте график функции y = ((x² + 0,25)(x − 1))/(1 − x). Определите, при каких значениях параметра k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Область определения: x ≠ 1. При x ≠ 1 сокращаем x − 1 и 1 − x, учитывая, что 1 − x = −(x − 1): y = −(x² + 0,25). График — парабола y = −x² − 0,25 без точки (1; −1,25).

Точки пересечения с y = kx удовлетворяют −x² − 1/4 = kx, то есть x² + kx + 1/4 = 0, причём x = 1 исключается из области определения.

Уравнение имеет ровно один корень при нулевом дискриминанте: k² − 1 = 0, откуда k = ±1. При k = −1 единственный корень x = 1 исключён, поэтому пересечений нет. При k = 1 единственный корень x = −1 допустим.

Также ровно одно пересечение возникает, если квадратное уравнение имеет два различных корня, один из которых равен 1 и потому не принадлежит области определения. Подстановка x = 1 даёт 1 + k + 1/4 = 0, то есть k = −5/4. Второй корень тогда равен 1/4 и допустим.

Ответ: k = 1 или k = −5/4.