24. Докажите, что у равных треугольников ABC и A₁B₁C₁ биссектрисы, проведенные из вершин А и А₁, равны.

Доказательство:

Дано:

• Треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны.
• AL — биссектриса угла A в треугольнике ABC.
• A₁L₁ — биссектриса угла A₁ в треугольнике A₁B₁C₁.

Требуется доказать, что AL = A₁L₁.

Условие равенства треугольников:

Если два треугольника равны, то соответствующие стороны и соответствующие углы равны.

Поскольку △ABC = △A₁B₁C₁, то:

• Соответствующие стороны равны: AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, BC = B₁C₁.
• Соответствующие углы равны: ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁, ∠C = ∠C₁.

Свойства биссектрисы:

• Биссектриса делит угол пополам.

Так как AL — биссектриса ∠A, то ∠BAL = ∠CAL = ∠A / 2.

Так как A₁L₁ — биссектриса ∠A₁, то ∠BA₁L₁ = ∠CA₁L₁ = ∠A₁ / 2.

Поскольку ∠A = ∠A₁, то и их половины равны: ∠BAL = ∠CAL = ∠BA₁L₁ = ∠CA₁L₁.

Рассмотрим треугольники ABL и A₁B₁L₁:

1. ∠BAL = ∠BA₁L₁ (доказано выше, как половины равных углов A и A₁).
2. ∠B = ∠B₁ (соответственные углы равных треугольников ABC и A₁B₁C₁).
3. AB = A₁B₁ (соответственные стороны равных треугольников ABC и A₁B₁C₁).

По второму признаку равенства треугольников (по двум углам и стороне между ними), треугольники ABL и A₁B₁L₁ равны: △ABL = △A₁B₁L₁.

Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих сторон, в том числе и биссектрис AL и A₁L₁.

AL = A₁L₁.

Что и требовалось доказать.