24. Докажите, что у равных треугольников ABC и A₁B₁C₁ биссектрисы, проведенные из вершин А и А₁, равны.

Доказательство:

1. Условие:
• Треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны.
• Это означает, что соответствующие стороны и углы равны:
• AB = A₁B₁, BC = B₁C₁, AC = A₁C₁
• ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁, ∠C = ∠C₁
• Пусть AM — биссектриса угла A в треугольнике ABC, а A₁M₁ — биссектриса угла A₁ в треугольнике A₁B₁C₁.
2. Равенство биссектрис:
3. По определению биссектрисы:
4. \[ \angle BAM = \angle CAM = \frac{\angle A}{2} \]
5. \[ \angle B_1A_1M_1 = \angle C_1A_1M_1 = \frac{\angle A_1}{2} \]
6. Так как ∠A = ∠A₁, то \( \frac{\angle A}{2} = \frac{\angle A_1}{2} \), следовательно, \( \angle BAM = \angle B_1A_1M_1 \).
7. Рассмотрим треугольники ABM и A₁B₁M₁:
8. • AB = A₁B₁ (по условию равенства треугольников ABC и A₁B₁C₁).
   • ∠B = ∠B₁ (по условию равенства треугольников ABC и A₁B₁C₁).
   • ∠BAM = ∠B₁A₁M₁ (доказано выше).
9. По второму признаку равенства треугольников (по двум углам и стороне между ними), треугольники ABM и A₁B₁M₁ равны.
10. Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих сторон:
11. \[ AM = A_1M_1 \]
12. Таким образом, биссектрисы, проведенные из вершин А и А₁, равны.

Что и требовалось доказать.