23. AC и BD — диаметры окружности с центром О. Угол АСВ равен 36°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Угол \( \angle ACB \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( AB \). Следовательно, центральный угол, опирающийся на ту же дугу, \( \angle AOB \) равен \( 2 \cdot \angle ACB \).

\[ \angle AOB = 2 \cdot \angle ACB = 2 \cdot 36^{\circ} = 72^{\circ} \]

Углы \( \angle AOB \) и \( \angle COD \) — вертикальные, поэтому \( \angle COD = \angle AOB = 72^{\circ} \).

Углы \( \angle BOC \) и \( \angle AOD \) — вертикальные. Углы \( \angle AOB \) и \( \angle BOC \) — смежные, их сумма равна \( 180^{\circ} \).

\[ \angle BOC = 180^{\circ} - \angle AOB = 180^{\circ} - 72^{\circ} = 108^{\circ} \]

Так как \( \angle BOC \) и \( \angle AOD \) — вертикальные углы:

\[ \angle AOD = \angle BOC = 108^{\circ} \]

Ответ: 108