23. Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абецисс?

Решение:

Прямая, параллельная оси абсцисс (оси \( Ox \)), имеет уравнение вида \( y = k \), где \( k \) — некоторая константа. График данной функции — парабола \( y = x^2 - 9 \).

Чтобы найти число общих точек, нужно решить систему уравнений:

\( \begin{cases} y = x^2 - 9 \\ y = k \end{cases} \)

Подставляя \( y = k \) в первое уравнение, получаем \( k = x^2 - 9 \) или \( x^2 = k + 9 \).

Рассмотрим возможные случаи:

• Если \( k + 9 > 0 \) (т.е. \( k > -9 \)), то \( x^2 = k + 9 \) имеет два различных действительных корня: \( x = \pm \sqrt{k+9} \). В этом случае прямая \( y = k \) пересекает параболу в двух точках.
• Если \( k + 9 = 0 \) (т.е. \( k = -9 \)), то \( x^2 = 0 \), что даёт один корень \( x = 0 \). В этом случае прямая \( y = -9 \) (вершина параболы) касается параболы в одной точке.
• Если \( k + 9 < 0 \) (т.е. \( k < -9 \)), то \( x^2 = k + 9 \) не имеет действительных корней. В этом случае прямая \( y = k \) не пересекает параболу.

Наибольшее число общих точек равно 2.

Ответ: 2