25. На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрал произвольную точку Е. Докажите, что сумма площадей треугольников EBC и EAD равна половине площади трапеции.

Решение:

Пусть \( AD = a \) и \( BC = b \) — основания трапеции \( ABCD \). Пусть \( h \) — высота трапеции.

Средняя линия трапеции \( MN \) (где \( M \) на \( AB \), \( N \) на \( CD \)) равна \( \frac{a+b}{2} \).

Пусть \( E \) — произвольная точка на средней линии \( MN \).

Проведём через точку \( E \) прямую, перпендикулярную основаниям \( AD \) и \( BC \). Пусть \( h_1 \) — расстояние от \( E \) до \( BC \), и \( h_2 \) — расстояние от \( E \) до \( AD \). Тогда \( h_1 + h_2 = h \).

Площадь треугольника \( EBC \) равна \( S_{EBC} = \frac{1}{2} x BC x h_1 = \frac{1}{2} b h_1 \).

Площадь треугольника \( EAD \) равна \( S_{EAD} = \frac{1}{2} AD x h_2 = \frac{1}{2} a h_2 \).

Сумма площадей этих треугольников:

\( S_{EBC} + S_{EAD} = \frac{1}{2} b h_1 + \frac{1}{2} a h_2 = \frac{1}{2} (b h_1 + a h_2) \).

Площадь трапеции \( ABCD \) равна \( S_{ABCD} = \frac{a+b}{2} h \).

Поскольку \( E \) лежит на средней линии, то \( h_1 = h_2 = \frac{h}{2} \). (Это следует из подобия треугольников, образующихся при проведении перпендикуляров).

Подставим \( h_1 = h_2 = \frac{h}{2} \) в сумму площадей:

\( S_{EBC} + S_{EAD} = \frac{1}{2} (b \cdot \frac{h}{2} + a \cdot \frac{h}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{h}{2} (b+a) = \frac{a+b}{4} h \).

Сравним с площадью трапеции:

\( \frac{S_{EBC} + S_{EAD}}{S_{ABCD}} = \frac{\frac{a+b}{4} h}{\frac{a+b}{2} h} = \frac{a+b}{4} \cdot \frac{2}{a+b} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \).

Следовательно, \( S_{EBC} + S_{EAD} = \frac{1}{2} S_{ABCD} \).

Доказано.