23. Окружность пересекает сторону KP треугольника MKP в точках А и В соответственно и продолжение стороны MP в точке С. Известно, что А и В лежат между K и P, и AP = 21, и что окружность пересекает сторону MK в точке T, и MK=30, и PT = 20. Найдите отрезок KP, если AP = 21

По свойству секущих и хорд окружности имеем: \(AP * BP = TP * PC\). Так как точки A и B лежат на стороне KP, то KP = AP + PB. По условию AP = 21, надо найти BP. C другой стороны, по условию окружность пересекает сторону MP в точке C и продолжение MP в точке C, тогда по свойству касательной \(TC^2 = PC*MC\). Так как MK=30, TP=20, то по теореме о касательной и секущей к окружности из точки M имеем \(MT^2 = MC*(MC+CP) = MC*MP\). Надо заметить, что AP * PB = TP * PC, но мы ничего не знаем про PC. Из условия также не понятно, где находится точка С относительно стороны MP. В условии сказано, что окружность пересекает продолжение стороны MP в точке C. Но также есть условие, что окружность пересекает сторону MP. Очевидно, что условие сформулировано не корректно, т.к. окружность не может пересекать одновременно сторону и продолжение. Так как AP = 21 и нет данных для решения, задача не решается. Ответ: Невозможно определить