23. Вычислить: ∫₀² xdx

Решение:

Для вычисления определенного интеграла \( \int_{a}^{b} f(x) dx \) сначала находим первообразную \( F(x) \) функции \( f(x) \), а затем вычисляем \( F(b) - F(a) \).

Первообразная для \( x \) (то есть \( x^1 \)) равна \( \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^2}{2} \).

Теперь вычислим определенный интеграл:

\[ \int_{0}^{2} x dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2} \]

Подставим верхний предел интегрирования (2) и вычтем значение при нижнем пределе интегрирования (0):

\[ = \frac{2^2}{2} - \frac{0^2}{2} \]

Вычислим:

\[ = \frac{4}{2} - 0 = 2 \]

Ответ: Интеграл равен \( 2 \).